Cómo escribir una función exponencial sabiendo el valor inicial y la tasa de variación

Las funciones exponenciales te permiten crear representaciones de la tasa de cambio en muchas situaciones distintas, como el crecimiento de población en una ciudad, índices de radioactividad, ritmo de reproducción bacteriana, intereses compuestos y muchos patrones de cambio más. Sigue estos pasos para escribir una función exponencial si sabes cuál es la tasa de variación (ya se trate de un crecimiento o decrecimiento) que sigue la función que buscas modelar.

Método 1

Método 1 de 2:

Usar la tasa de variación como la base

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Imagina que una cuenta bancaria se abrió con un depósito de $1,000 y ofrece una tasa de interés compuesto del 3% anual. Encuentra una ecuación exponencial que te permita modelar esta función mensualmente.
Una ecuación exponencial tiene la forma f(t)=P₀(1+r)^t/h, en la que P₀ es el valor inicial, t es la variable de tiempo, r es la tasa de interés y h es la cantidad por la que necesitas dividir a t para que sea congruente con la tasa.
Sustituye el valor inicial en la posición de P y el de la tasa de interés en la posición de r. La ecuación se verá así: f(t)=1,000(1.03)^t/h.
Piensa en tu ecuación. Cada año, la cantidad de dinero debe incrementarse en un 3%, lo que equivale a decir que cada 12 meses el dinero se incrementa en 3%. Ya que necesitas dar el tiempo en meses, pues las instrucciones del ejercicio te piden modelar una ecuación que te permita calcular valores mensuales, necesitas dividir t entre 12, así que h=12. Tu ecuación sustituida se ve así: f(t)=1,000(1.03)^t/12. Si las unidades ya son iguales para la tasa y para los incrementos en t, h debe ser siempre 1.
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Método 2

Método 2 de 2:

Usando "e" como la base

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Cuando usas el valor de e como base, estás usando la " base natural". Usar la base e te permite calcular la tasa de variación continua directamente a partir de la ecuación.
Imagina que una muestra de 500 de un isótopo de carbono tiene un período de desintegración de 50 años (el período de desintegración es el lapso necesario para que se desintegren la mitad de los núcleos de una muestra inicial de una sustancia radiactiva, que se simplifica como una reducción general del 50%).
Una ecuación exponencial tiene la forma f(t)=ae^kt donde a es el valor inicial, e es la base, k es la tasa de variación continua y t es la variable de tiempo.
El único de los valores conocidos que necesitas utilizar en esta ecuación es el valor inicial sobre el que se aplicará la tasa de variación. Así que sustitúyelo en la posición de a para obtener: f(t)=500e^kt
La tasa de variación continua describe qué tan rápido el modelo de tu ecuación está cambiando en un momento dado de tiempo. Sabes que en 50 años, la muestra se habrá desintegrado hasta estar integrada por sólo 250 gramos. Ese puede considerarse un punto en el modelo para el que tú puedes sustituir la ecuación. Así que usa t como 50, y obtendrás f(50)=500e^50k. También sabes que f(50)=250, así que sustituye 250 por f(250) en la parte izquierda de la ecuación y ahora la habrás simplificado hasta leer: 250=500e^50k. Ahora, para resolver la ecuación lo primero que debes hacer es dividir ambos lados de la ecuación entre 500 y obtendrás lo siguiente: 1/2=e^50k. Ahora obtén el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación y se verá así: ln(1/2)=ln(e^50k). Ahora puedes usar propiedades de logaritmos para pasar los respectivos exponentes de cada argumento como un factor a la izquierda del logaritmo (en la parte izquierda se multiplica por 1, así que nada cambia), y obtendrás el siguiente paso: ln(1/2)=50k(ln(e)). Recuerda que ln significa lo mismo que log_e y que por propiedades de logaritmos puedes establecer que si la base y el argumento de un algoritmo son iguales, el valor del logaritmo es 1. Por lo tanto, ln(e)=1. Así que la ecuación se simplifica una vez más a ln(1/2)=50k, y si divides entre 50, obtienes que k=(ln(1/2))/50. Usando tu calculadora puedes ver que una aproximación del valor de k es -.01386. Puedes darte cuenta de que el valor es negativo. Con el signo positivo o negativo de este resultado sabes cuándo tu tasa de variación representa un incremento y cuándo un decremento.
Tu ecuación se ve así: 500e^-.01386t.
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Consejos

Quizá te convenga guardar el valor de k en tu calculadora si necesitas encontrar varios valores para la misma ecuación, de manera que puedas usar siempre la misma aproximación de sus dígitos. En algunas calculadoras lo mejor es guardar el valor de k como X ya que puedes escribirla sin necesidad de presionar "alpha" o "2nd" como lo haces para acceder a otras letras, pero si vas a usar una constante almacenada en la memoria para graficar, asegúrate de que esa letra no se interprete como variable porque tu ecuación se verá alterada.
Pronto aprenderás a distinguir cuándo es mejor usar cada método. La mayoría de las veces los problemas se resuelven más fácilmente con el primer método, pero a veces obtener el valor de k con el segundo método te ayudará a hacer más cálculos con el mismo modelo si el problema tiene varias preguntas.

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