Natural son

Shunday ${\displaystyle S}$ funktsiyasini kiritamizki, u har bir ${\displaystyle x}$ soniga oʻzidan keyingi sonni qoʻysin

1. ${\displaystyle 1\in \mathbb {N} }$ (${\displaystyle 1}$ soni natural sondir);
2. Agar ${\displaystyle x\in \mathbb {N} }$ , unda ${\displaystyle S(x)\in \mathbb {N} }$ ( Natural sondan keyin keluvchi son — natural sondir);
3. ${\displaystyle \nexists x\in \mathbb {N} \ (S(x)=1)}$ (1 hech qanday natural sondan keyin kelmaydi);
4. Agar ${\displaystyle S(b)=a}$ va ${\displaystyle S(c)=a}$ , unda ${\displaystyle b=c}$
5. Induktsiya aksiomasi. ${\displaystyle P(n)}$ — ${\displaystyle n}$ natural sonidan bogʻliq boʻlgan qandaydir biroʻrinli predikat boʻlsin. Unda:

agar ${\displaystyle P(1)}$ va ${\displaystyle \forall n\;(P(n)\Rightarrow P(S(n)))}$ , unda ${\displaystyle \forall n\;P(n)}$

(Agar biron bir ayniyat ${\displaystyle P}$ uchun toʻ ${\displaystyle n=1}$ (induktsiya bazasi) va ihtiyoriy ${\displaystyle n}$ taxmini uchun, toʻgʻri boʻlsa ${\displaystyle P(n)}$ hamda ${\displaystyle P(n+1)}$ uchun ham toʻgʻri boʻlsa (induktsion taxmin), unda ${\displaystyle P(n)}$ uhtiyoriy natural sonlar uchun toʻgʻri boʻladi ${\displaystyle n}$ ).

1. Yigʻindining komutativligi. ${\displaystyle \,\!a+b=b+a}$
2. Koʻpaytirishining komutativligi. ${\displaystyle \,\!ab=ba}$
3. Yigʻindining assotsiativligi. ${\displaystyle \,\!(a+b)+c=a+(b+c)}$
4. Koʻpaytirishining assotsiativligi. ${\displaystyle \,\!(ab)c=a(bc)}$
5. Koʻpaytirishining yigʻindiga nisbatan distributivligi. ${\displaystyle \,\!{\begin{cases}a(b+c)=ab+ac\\(b+c)a=ba+ca\end{cases}}}$

• Butun sonlar
• Ratsional sonlar
• Haqiqiy sonlar

• http://Lib.Mexmat.Ru (Wayback Machine saytida 2012-10-22 sanasida arxivlangan) — «Kitoblarni mavzular boʻyicha qidiruvi»