Cách để Tìm phương trình của một đường thẳng

Để tìm phương trình của một đường thẳng, bạn cần hai thứ: a) một điểm trên đường thẳng đó; và b) hệ số góc (đôi khi còn được gọi độ dốc) của nó. Nhưng tùy từng trường hợp mà cách thức tìm những thông tin này và điều mà bạn có thể thao tác sau đó với chúng có thể sẽ khác nhau. Để đơn giản, bài viết này sẽ tập trung vào phương trình có dạng hệ số góc và tung độ gốc y = mx + b thay vì dạng hệ số góc và một điểm nằm trên đường thẳng (y - y₁) = m(x - x₁).

Phương pháp 1

Phương pháp 1 của 5:

Thông tin chung

Tải về bản PDF

1
Nhận biết bạn đang tìm gì. Trước khi bắt đầu tìm phương trình, hãy đảm bảo rằng bạn đã hiểu rõ mình đang cố tìm kiếm điều gì. Để tâm đến những câu từ sau:
- Điểm được xác định với những cặp xếp thứ tự như (-7, -8) hay (-2,-6).
- Số đầu tiên trong cặp xếp thứ tự là hoành độ. Nó kiểm soát vị trí theo chiều nằm ngang của điểm (nằm về bên trái hay bên phải bao nhiêu so với gốc tọa độ).
- Số thứ hai trong cặp xếp thứ tự là tung độ. Nó kiểm soát vị trí theo chiều thẳng đứng của điểm (nằm trên hay dưới bao nhiêu so với gốc tọa độ).
- Hệ số góc giữa hai điểm được định nghĩa là "chiều thẳng trên chiều ngang" — hay nói cách khác, nó thể hiện bạn phải đi lên (hoặc đi xuống) và đi sang phải (hoặc sang trái) bao xa để di chuyển từ điểm này đến điểm khác của đường thẳng.
- Hai đường thẳng song song nếu chúng không giao (cắt) nhau.
- Hai đường thẳng vuông góc với nhau nếu chúng giao nhau và hình thành một góc vuông (90 độ).
2
Xác định kiểu bài toán.
- Biết hệ số góc và một điểm.
- Biết hai điểm trên đường thẳng nhưng không cho hệ số góc.
- Biết một điểm trên đường thằng và một đường thẳng khác song song với đường thẳng đó.
- Biết một điểm nằm trên đường thẳng và một đường thẳng khác vuông góc với đường thẳng đó.
3
Giải bài toán bằng cách sử dụng một trong bốn phương pháp được trình bày ở dưới. Tùy thông tin được cho, ta có những cách giải khác nhau.
Quảng cáo

Phương pháp 2

Phương pháp 2 của 5:

Biết hệ số góc và một điểm nằm trên đường thẳng

Tải về bản PDF

1
Tính tung độ gốc trong phương trình của bạn. Tung độ gốc (hay biến b trong phương trình) là giao điểm của đường thẳng và trục tung. Bạn có thể tính tung độ gốc bằng cách sắp xếp lại phương trình, và tìm b. Phương trình mới của chúng ta có dạng như sau: b = y - mx.
- Nhập hệ số góc và các tọa độ vào phương trình trên.
- Nhân hệ số góc (m) với hoành độ của điểm đã cho.
- Lấy tung độ của điểm TRỪ ĐI tích đó.
- Bạn đã tìm được b, hay tung độ gốc của phương trình.
y = ____ x + ____ , cùng khoảng trắng.
mà bạn vừa tính được.
5
Giải bài toán ví dụ. "Tìm phương trình đường thẳng đi qua điểm (6, -5) và có hệ số góc là 2/3."
- Sắp xếp lại phương trình. b = y - mx.
- Thế giá trị và giải.
  - b = -5 - (2/3)6.
  - b = -5 - 4.
  - b = -9
- Kiểm tra lại liệu tung độ gốc của bạn có thật sự là -9 hay không.
- Viết phương trình: y = 2/3 x - 9
Quảng cáo

Phương pháp 3

Phương pháp 3 của 5:

Biết hai điểm nằm trên đường thẳng

Tải về bản PDF

1
Tính hệ số góc giữa hai điểm đó. Hệ số góc còn được gọi là "chiều thẳng trên chiều ngang" và bạn có thể hình dung đó là diễn tả cho thấy khi di chuyển sang trái hay sang phải một đơn vị, đường thẳng đã đi lên hay đi xuống được bao nhiêu. Phương trình dành cho hệ số góc là: (Y₂ - Y₁) / (X₂ - X₁)
- Dùng hai điểm đã biết và thế chúng vào phương trình (Hai tọa độ ở đây chính là hai giá trị y và hai giá trị x). Cho tọa độ nào vào trước cũng đều không quan trọng, miễn là bạn nhất quán trong phép thế của mình. Đây là một vài ví dụ:
  - Điểm (3, 8) và (7, 12). (Y₂ - Y₁) / (X₂ - X₁) = 12 - 8 / 7 - 3 = 4/4, hay 1.
  - Điểm (5, 5) và (9, 2). (Y₂ - Y₁) / (X₂ - X₁) = 2 - 5 / 9 - 5 = -3/4.
Hãy gạch bỏ cặp tọa độ còn lại hoặc che đi để không vô tình dùng chúng.
3
Tính tung độ gốc của phương trình. Một lần nữa, hãy sắp xếp lại công thức y = mx + b để có b = y - mx. Vẫn là phương trình đó, chỉ là bạn vừa biến đổi nó đôi chút mà thôi.
- Thế hệ số góc và các tọa độ vào phương trình trên.
- Nhân hệ số góc (m) với hoành độ của điểm.
- Lấy tung độ của điểm TRỪ ĐI tích trên.
- Bạn vừa tìm được b, hay tung độ gốc.
y = ____ x + ____ ', bao gồm các khoảng trắng.
7
Giải bài toán ví dụ. "Cho hai điểm (6, -5) và (8, -12). Tìm phương trình đường thẳng đi qua hai điểm trên."
- Tìm hệ số góc. Hệ số góc = (Y₂ - Y₁) / (X₂ - X₁)
  - -12 - (-5) / 8 - 6 = -7 / 2
  - Hệ số góc là -7/2 (Từ điểm đầu tiên đến điểm thứ hai, ta đi xuống 7 và sang phải 2, do đó, hệ số góc là – 7 trên 2).
- Sắp xếp lại phương trình của bạn. b = y - mx.
- Thế số và giải.
  - b = -12 - (-7/2)8.
  - b = -12 - (-28).
  - b = -12 + 28.
  - b = 16
  - Lưu ý: Khi thế tọa độ, vì đã dùng 8, bạn cũng phải dùng -12. Nếu dùng 6, bạn sẽ phải dùng -5.
- Kiểm tra lại để chắc rằng tung độ gốc của bạn thật sự là 16.
- Viết phương trình: y = -7/2 x + 16
Quảng cáo

Phương pháp 4

Phương pháp 4 của 5:

Biết một điểm và một đường thẳng song song

Tải về bản PDF

1
Xác định hệ số góc của đường thẳng song song. Nhớ rằng hệ số góc là hệ số của x còn y thì không có hệ số nào.
- Trong phương trình y = 3/4 x + 7, hệ số góc là 3/4.
- Trong phương trình y = 3x - 2, hệ số góc là 3.
- Trong phương trình y = 3x, hệ số góc vẫn là 3.
- Trong phương trình y = 7, hệ số góc bằng không (bởi bài toán không có x).
- Trong phương trình y = x - 7, hệ số góc bằng 1.
- Trong phương trình -3x + 4y = 8, hệ số góc là 3/4.
  - Để tìm được hệ số góc của phương trình trên, ta chỉ việc sắp xếp lại phương trình sao cho y đứng một mình:
  - 4y = 3x + 8
  - Chia hai vế cho "4": y = 3/4x + 2
2
Tính tung độ gốc bằng cách sử dụng hệ số góc vừa tìm được ở bước đầu tiên và phương trình b = y - mx.
- Thế hệ số góc và các tọa độ vào phương trình trên.
- Nhân hệ số góc (m) với hoành độ của điểm.
- Lấy tung độ của điểm TRỪ ĐI tích trên.
- Bạn vừa tìm được b, tung độ gốc.
y = ____ x + ____ , bao gồm khoảng trắng.
Vấn đề của những đường thẳng song song là chúng có cùng hệ số góc, do đó, điểm bắt đầu cũng chính là điểm kết thúc của bạn.
6
Giải bài toán tương tự. "Tìm phương trình đường thẳng đi qua điểm (4, 3) và song song với đường thẳng 5x - 2y = 1".
- Tìm hệ số góc. Hệ số góc đường thẳng mới của chúng ta cũng chính là hệ số góc của đường thẳng cũ. Tìm hệ số góc của đường thẳng cũ:
  - -2y = -5x + 1
  - Chia hai vế cho "-2": y = 5/2x - 1/2
  - Hệ số góc là 5/2.
- Sắp xếp lại phương trình. b = y - mx.
- Thế số và giải.
  - b = 3 - (5/2)4.
  - b = 3 - (10).
  - b = -7.
- Kiểm tra lại để chắc rằng -7 đúng là tung độ gốc.
- Viết phương trình: y = 5/2 x - 7
Quảng cáo

Phương pháp 5

Phương pháp 5 của 5:

Biết một điểm và một đường thẳng vuông góc

Tải về bản PDF

1
Xác định hệ số góc của đường thẳng đã cho. Hãy xem lại các ví dụ trước để có thêm thông tin.
2
Hay nói cách khác, đảo số và đổi dấu. Vấn đề với hai đường thẳng vuông góc là chúng có hệ số góc nghịch đảo trái dấu. Do đó, bạn phải biến đổi hệ số góc trước khi sử dụng.
- 2/3 trở thành -3/2
- -6/5 trở thành 5/6
- 3 (hay 3/1 — như nhau) trở thành -1/3
- -1/2 trở thành 2
3
và phương trình b = y - mx
- Thế hệ số góc và các tọa độ vào phương trình trên.
- Nhân hệ số góc (m) với hoành độ của điểm.
- Lấy tung độ của điểm TRỪ ĐI tích này.
- Bạn đã tìm được b, tung độ gốc.
y = ____ x + ____ ', bao gồm khoảng trắng.
7
Giải bài toán tương tự. "Cho điểm (8, -1) và đường thẳng 4x + 2y = 9. Tìm phương trình đường thẳng đi qua điểm đó và vuông góc với đường thẳng đã cho".
- Tìm hệ số góc. Hệ số góc của đường thẳng mới là nghịch đảo trái chiều của hệ số góc đường thẳng cho trước. Ta tìm hệ số góc của đường thẳng đã cho như sau:
  - 2y = -4x + 9
  - Chia hai vế cho "2": y = -4/2x + 9/2
  - Hệ số góc là -4/2 hay -2.
- Nghịch đảo trái chiều của -2 là 1/2.
- Sắp xếp lại phương trình. b = y - mx.
- Thế vào vào giải.
  - b = -1 - (1/2)8.
  - b = -1 - (4).
  - b = -5.
- Kiểm tra lại để chắc rằng -5 đúng là tung độ gốc.
- Viết phương trình: y = 1/2x - 5
Quảng cáo